Во внешней политике

Аксиому, что для заданного множества взаимно исключающих классов, ни один из которых не является нулевым, есть по крайней мере один класс, включающий один элемент из каждого класса этого множества), то мы можем доказать, что существует класс, содержащий Х0 элементов, так что К0 будет иметь место как кардинальное число индивидов. Это несколько уменьшает тип, до которого мы должны дойти, чтобы доказать теорему о существовании для любого заданного кардинального числа, но не дает нам какой-либо теоремы о существовании, которая раньше или позже не может быть получена иначе.

Ср.: часть III моей статьи On some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types II Proc. London Math. Soc, series 2, vol. IV, part I.

2 Об аксиоме Цермело и о доказательстве того, что эта аксиома влечет мультипликативную аксиому, см. предыдущую сноску. Обратный вывод выглядит так:

Обозначим как Vrod'k мультипликативный класс к, рассмотрим

Z'B = R {(Вех). хеВ . D'R = i'B . [D]'R = i'x) Df.

и предположим, что

ye Prod'Z''c/'я . R = ?x{(3S). Sey. ?Sx}.

Тогда R — это соответствие Цермело. Следовательно, если Vxoc\'Z"cl'a не является нулевым, то для а существует по крайней мере одно соответствие Цермело.

3 См.: Zermelo. Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden капп II Math. Annalen, vol. LIX. S. 514-16.

Многие элементарные теоремы, включающие кардинальные числа, требуют мультипликативную аксиому1. Необходимо отметить, что эта аксиома эквивалентна аксиоме Цермело2 и, следовательно, допущению, что каждый класс может быть вполне упорядочен3. Эти эквивалентные предпосылки, по-видимому, доказать невозможно, несмотря на то, что мультипликативная аксиома выглядит достаточно правдоподобной. В отсутствие доказательства, видимо, лучше не принимать мультипликативную аксиому как допущение, но устанавливать ее как условие в каждом случае, в котором она используется.

X. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Ординальное число есть класс ординально сходных вполне упорядоченных рядов, т. е. отношений, образующих такие ряды. Ординальное сходство, или подобие, определяется следующим образом:

Smor = PQ {(35). Se 1-Я . [D]'S = C'Q . P = S \ QIS } Df,

где «Smor» есть сокращение для «сходны ординально».

Класс отношений ряда, которые мы будем называть «5ег», определяется так:

Ser = Р {хРу. ZDX,Y ,~(х = у): хРу. yPz. =>,,,,,2. xPz : хе С'Р. =эх. Р'х и

воскресенье, 20 декабря 2009 г.