Но не классам.
Наиболее характерная особенность второй теории (по сравнению с первой) состоит в несуществовании универсального класса или (в интенсиональной интерпретации) понятия «чего-либо» в неограниченном смысле. Аксиоматическая теория множеств, развитая позднее Цермело и другими, может рассматриваться как разработка этой идеи, насколько это касается классов1". В частности, фраза «не слишком велик» может быть специфицирована (как показал Дж. фон Нейман), как значащая «не эквивалентен универсуму всех вещей», или, если быть более точным, пропозициональная функция определяет класс, тогда и только тогда, когда не существует отношения (в интенсиональном случае пропозициональной функции с двумя переменными), которое соотносит в одно-однозначной манере каждый объект с объектом, удовлетворяющим пропозициональную функцию, и обратно. Этот критерий не появляется, однако, в качестве основания теории, а является следствием аксиом, и может быть при обращении заменен на две аксиомы (аксиома замещения и аксиома выбора).
Второй из предложенных Расселом подходов, а именно зигзаг-теория, тоже был недавно реализован в виде логической системы, которая разделяет некоторые существенные особенности этого подхода. Это система Куайна. Вполне вероятно, что в этом направлении откроются и другие интересные возможности.
Собственно работа самого Рассела в решении парадоксов не пошла в русле указанных двух направлений, им же и указанных, но была основана на более радикальной идее «теории неклассов», согласно которой классы или концепции никогда не существуют в качестве реальных объектов, и предложения, содержащие эти термины, значимы только в такой степени, в какой они могут быть интерпретированы как facon deparler — в манере разговора о других вещах. Так как в Principia и других работах, однако, он сформулировал определенные принципы, открытые в ходе развития его теории как общие логические принципы, без упоминания более их зависимости от не-класс-теории, я имею намерение рассмотреть сначала эти принципы.
Я имею в виду, в частности, принцип порочного круга, который запрещает определенного рода «круговую» процедуру, которая и ответственна за парадоксы. Ошибочность, связанная с парадоксами, проистекает из того, что порочный круг определяет (или неявно предполагается при этом) всеобщности, чье существование должно влечь существование определенных новых элементов той же самой всеобщности, а именно элементов, определимых только в терминах полной всеобщности.
0 коммент.:
Отправить комментарий