С другой стороны, аксиома сводимости, подобно нашим двум предшествующим математическим аксиомам, могла бы быть вполне установлена в качестве гипотезы, вместо того чтобы предполагать ее действительно истинной. Мы можем выводить следствия из нее гипотетически; мы можем также выводить следствия из предположения ложности аксиомы. Она, следовательно, представляет конвенцию и не является необходимой. Имея в виду сложность теории типов и неопределенность всех ее, за исключением наиболее общих, принципов, невозможно до сих пор сказать, есть ли какой-либо способ избавиться от аксиомы сводимости вообще. Однако предполагая правильность изложенной выше теории, что мы можем сказать в пользу истинности или ложности аксиомы?
Аксиома, как можно видеть, является обобщением принципа Лейбница тождества неразличимого. Лейбниц предполагал в качестве логического принципа, что два различных субъекта могут различаться в отношении предикатов. Предикаты составляют только часть того, что называется «предикативными функциями», которые включают также отношения между терминами и различные свойства, которые не могут рассматриваться как предикаты. Таким образом, предположение Лейбница является более строгим и узким, нежели наше. (Но, конечно, не по его логике, так как она предполагает все суждения сводимыми к субъектно-предикатной форме). Но, насколько я могу понять, нет никаких причин верить в эту форму. Вполне допустимо с точки зрения абстрактной логической возможности, что две вещи будут иметь в точности одни и те же предикаты, в узком смысле слова «предикат», который используем мы. Как же выглядит аксиома, когда мы выходим за пределы этого узкого смысла? В действительном мире нет способов подвергнуть сомнению ее эмпирическую истинность в отношении индивидов, которая обязана пространственно-временной дифференциации: нет двух отличных друг от друга индивидов, имеющих точно одни и те же пространственные и временные отношения ко всем остальным индивидам. Но это, как часто бывает, является случайным фактом о мире, в котором мы находимся. Чистая логика и чистая математика (что есть одно и то же) имеет цель быть истинной, по терминологии Лейбница, во всех возможных мирах, а не только в этом сумбурном, наспех сделанном мире, в котором нас запер случай.
0 коммент.:
Отправить комментарий