Оба движения

Действительно, если считать, что сущность математики заключается в экстенсиональном подходе, то все содержательные различия, связанные с порядком функций, исчезают. Так, если мы задаем класс некоторых предметов, то для математики важно лишь то, чтобы он был задан однозначно, а какие при этом используются функции — безразлично. Допустим, например, что нас интересует класс из п элементов, и оказалось, что элементы этого класса являются философами. Для того чтобы задействовать этот класс в вычислительных процедурах, совершенно безразлично, с помощью какой функции мы его зададим, «х — мудрец» (т. е. fx) или «х имеет все свойства философа» (т. е. (f). ф[/х, х)). Все преобразования с классами, например, установление взаимнооднозначного соответствия или операции пересечения и объединения, будут сохраняться.

Конечно, как показал Рассел, введение классов само не свободно от парадоксов. Но аксиома сводимости сохраняет простую теорию типов, поскольку требование предикативности функции, задающей класс, указывает на то, что сама эта функция не может быть своим собственным аргументом. То есть парадоксы, типа парадокса Рассела, не проходят и с принятием этой аксиомы.

Зачем тогда все-таки понадобилась разветвленная теория типов? Здесь следует высказать некоторые соображения. Если бы Рассел изначально ограничился математикой, то разветвленная теория типов была бы не нужна. Но он начинает с более общих проблем, а именно, с проблем непарадоксального языка. Разветвленная теория типов — это не теория математики. Это более общая теория, которая стремится согласовать способы выражения с их непротиворечивостью. Математика же использует частный язык, который получается посредством ограничения общих средств непротиворечивых выражений. Аксиома сводимости, для Рассела, как раз и есть такой способ ограничения, с помощью которого мы из обычных средств выражения получаем то, что непротиворечиво можно сказать на языке математики. Вероятно, можно утверждать, что аксиома сводимости — одна из самых философских концепций Рассела, касающихся математики, ибо именно она сводит общие средства выражения к выражениям математики или, скорее, указывает на то, что считать ее выражениями, предполагая некоторые упрощения в их структуре.

Несмотря на то, что в рамках расселовского подхода аксиома сводимости представляется вполне естественной и, вообще говоря, является отличительной чертой расселовского логицизма, именно она подверглась наиболее серьезной критике.