Система

Но если функция перестает быть значимой, когда переменная выходит за рамки определенной области, то переменная ipso facto заключена в этой области без необходимости в каком-то явном высказывании этого. Этот принцип необходимо принимать во внимание при развитии логических типов, к которым мы вскоре перейдем.

Теперь мы можем начать рассмотрение того, каким образом случается так, что «все такие-то и такие-то» иногда является оправданной фразой, а иногда — нет. Предположим, мы говорим: «Все элементы, имеющие свойство ф, имеют свойство ф». Согласно указанной выше интерпретации это означает «фх всегда влечет фх». При условии, что область значимости фх является той же самой, что и область значимости фх, это высказывание является значимым; таким образом, если задать какую-то определенную функцию фх, то существует пропозиция, говорящая о «всех элементах, выполняющих фх». Но иногда (как мы увидим позже) случается так, что то, что вербаль-но проявляется как одна функция, на самом деле представляет собой много аналогичных функций с различными областями значимости. Это, например, применимо к «р — истинно», которая, как мы найдем, на самом деле есть не одна функция от р, но представляет собой различные функции, соответствующие виду пропозиции, которой является р. В таком случае фраза, выражающая неопределенную функцию может, благодаря этой неопределенности, быть значимой во всем множестве значений аргумента, превосходящем область значимости какой-то одной функции. В этом случае все не обоснованно. Стало быть, если мы пытаемся сказать «Все истинные пропозиции обладают свойством 0», т. е. «"р — истинно" всегда влечет фр», возможные аргументы для «р — истинно» необходимо превышают возможные аргументы для ф и, следовательно, рассматриваемое общее высказывание невозможно. По этой причине подлинных общих высказываний о всех истинных пропозициях сделать нельзя. Однако может случиться, что предполагаемая функция ф подобно «р — истинно» является неопределенной, и если случится, что она обладает неопределенностью точно такого же вида, как и «р — истинно», мы всегда будем в состоянии задать интерпретацию для пропозиции «"р — истинно" влечет фр». Это произойдет, например, если фр есть «не-р — ложно». Таким образом, в этих случаях мы получаем видимость общих пропозиций, рассматривающих все пропозиции; но эта видимость своим появлением обязана систематической неопределенности таких слов, как истинно и ложно.