Однако такая способность к дифференциации свойств зависела бы от определенных эпистемологических способностей человека, которую, хотя и можно предполагать, но в рамках математики, как она представлена с точки зрения разветвленной теории типов, обосновать можно только аксиоматически.
Как бы там ни было, аксиоматическое сведение порядков различных функций от одного и того же аргумента через отождествление их с предикативной функцией от того же самого аргумента означает только то, что разветвленная теория типов сводится к простой теории типов, как она сформулирована выше. Действительно, из всех различий порядков функций аксиома сводимости оставляет только то, чтобы предикативная функция (формально эквивалентная всем функциям от одного и того же аргумента) была на порядок выше своего аргумента. Это означает лишь то, что предикативная функция не может быть своим собственным аргументом и, соответственно, класс, который задается данной функцией, не может быть своим собственным элементом.
Из аксиомы сводимости вытекает одно весьма важное следствие: Если понятие предикативной функции тождественно понятию класса, то построение формальной теории можно начинать не с индивидов и свойств, а с классов. Но отождествление предикативных функций с классами возвращает нас к проблемам, которые были сформулированы выше. Первая из них связана с более широкой совокупностью парадоксов, для решения которых и была предназначена разветвленная теория типов. Вторая проблема относится к тому, каким образом задаются классы, если мы исходим из интенсионального подхода, т. е. считаем, что класс задается свойством, пусть и предикативным.
Остановимся на первой проблеме. Поскольку аксиома сводимости позволяет отождествить функции различных порядков с предикативными функциями, может возникнуть подозрение, что вновь объявятся парадоксы, которые уже обсуждались. Однако здесь следует учесть, что Рассел ограничивает применение аксиомы сводимости лишь высказываниями математики. Он считает, что при формулировке парадоксов второй группы задействуются понятия, не имеющие к математике никакого отношения. Поэтому, если мы ограничимся лишь математическими положениями, суть которых Рассел видит в их экстен-
На это, кстати, указывал уже Д. Гильберт. (См.: Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: ИЛ, 1947. С. 231.) сиональности, т. е. в неразличимости формально эквивалентных функций, то проблем не возникает.
0 коммент.:
Отправить комментарий