(В отношении е высказывание «Существует положительное число е, такое, что etc.» есть отрицание того, что отрицание «etc.» истинно для всех положительных чисел.) По этой причине, когда утверждается какое-то значение пропозициональной функции, аргумент (например, / выше) называется действительной переменной; в то же время, когда о функции говорится как о всегда истинной или как о не всегда истинной, аргумент называется мнимой переменной1. Таким образом, в указанном выше определении/есть действительная переменная, а а, е или S суть мнимые переменные.
Утверждая какое-то значение пропозициональной функции, мы просто будем говорить, что утверждаем пропозициональную функцию. Так, если мы излагаем закон тождества в форме «х = х», мы утверждаем функцию «х = х»; т. е. мы утверждаем какое-то значение этой функции. Сходным образом можно было бы сказать, что мы отрицаем пропозициональную функцию, когда отрицаем какой-то ее пример. Мы можем действительно утверждать пропозициональную функцию, только если, какое бы значение мы ни выбрали, это значение является истинным; сходным образом мы можем подлинно отрицать ее, только если, какое бы значение мы ни выбрали, это значение является ложным. Отсюда, в общем случае, когда некоторые значения являются истинными, а некоторые — ложными, мы не можем ни утверждать, ни отрицать пропозициональную функцию2.
Этими двумя терминами мы обязаны Пеано, который использует их приблизительно в указанном выше смысле. Ср., например: Formulaire de Mathematiques (Torino, 1903), vol. IV, p. 5.
2 М-р МакКолл говорит, что «пропозиции» делятся на три класса: достоверные, переменные и невозможные. Мы можем принять это деление в применении к пропозициональным функциям. Функция, которую можно утверждать, является достоверной, функция, которую можно отрицать, является невозможной, все другие функции являются (в смысле м-ра МакКолла) переменными.
Если фх — пропозициональная функция, то посредством «(*-) . фх» мы будем обозначать пропозицию «0л; всегда истинно». Сходным образом «{x,y). ф(х,у)» будет обозначать «ф(х,у) всегда истинно» и т. д. Тогда различие между утверждением всех значений и утверждением какогото значения есть различие между (1) утверждением (х). фх и (2) утверждением фх, где х не определен. Последнее отличается от первого тем, что оно не может трактоваться как одна определенная пропозиция.
0 коммент.:
Отправить комментарий